Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作PD∥BC與AB的延長線相交于點P．

(1)求證：PD是⊙O的切線；

(2)求證：BD2＝PBAC．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

（1）先根據圓的性質得到∠BAC＝90°以及角平分線的定義得到∠BAC＝2∠BAD，進而得到∠BOD＝∠BAC＝90°，推出PD⊥OD，即可證明；

（2）先證明△PBD∽△DCA.得出，證明BD=CD，即可證明．

(1)證明：如圖，連接OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∵∠BOD＝2∠BAD，

∴∠BOD＝∠BAC＝90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半徑，

∴PD是⊙O的切線；

(2)證明：∵PD∥BC，

∴∠P＝∠ABC，

∵＝，

∴∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD，

∴△PBD∽△DCA．

∴，

∴PBAC＝BDCD，

∵AD平分∠BAC，

∴＝，

∴BD2＝PBAC．