Question

【題目】如圖，，點、分別在、上運動（不與點重合）．

（1）如圖1，是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點．

①若，則為多少度？請說明理由．

②猜想：的度數是否隨、的移動發生變化？請說明理由．

（2）如圖2，若，，則的大小為 度（直接寫出結果）；

（3）若將“”改為“（）”，且，，其余條件不變，則的大小為 度（用含、的代數式直接表示出米）．

Answer 1

【答案】（1）①45°，理由見解析；②∠D的度數不變；理由見解析（2）30 ；（3）

【解析】

（1）①先求出∠ABN=150°，再根據角平分線得出∠CBA=∠ABN=75°、∠BAD=∠BAO=30°，最后由外角性質可得∠D度數；

②設∠BAD=α，利用外角性質和角平分線性質求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；

（2）設∠BAD=α，得∠BAO=3α，繼而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根據∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；

（3）設∠BAD=β，分別求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案．

解：（1）①45°

∵∠BAO=60°，∠MON=90°，

∴∠ABN=150°，

∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，

∴∠CBA=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30°

∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，

②∠D的度數不變．

理由是：設∠BAD=α，

∵AD平分∠BAO，

∴∠BAO=2α，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，

∵BC平分∠ABN，

∴∠ABC=45°+α，

∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°；

（2）設∠BAD=α，
∵∠BAD=∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°；

（3）設∠BAD=β，
∵∠BAD=∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=α°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=+β，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=+β-β=.