Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， OE垂直于弦BC，垂足為F，OE交⊙O于點D，且∠CBE=2∠C．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）若DF=9，tanC=，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）25

【解析】

（1）由OE垂直于弦BC，可證∠BOE+∠OBF=90°，由圓周角定理可得∠BOE=2∠C，從而∠CBE=∠BOE，進而可證BE與⊙O相切；

（2）由DF=9，tanC=，可求出CF=BF=12，設半徑長是x，在Rt△BOF中，利用勾股定理列方程求解即可．

（1）證明：∵OE垂直于弦BC，

∴∠BOE+∠OBF=90°，

∵∠CBE=2∠C， ∠BOE=2∠C，

∴∠CBE=∠BOE，

∴∠CBE+∠OBF=90°，

∴∠OBE=90°，

∴BE與⊙O相切；

（2）解：∵OE垂直于弦BC，

∴∠CFD=∠BFO=90°，CF=BF．

∵DF=9，tanC=，

∴CF=BF=12．

設半徑長是x，則OF=x-9，

在Rt△BOF中，

∵x2=(x-9)2+122，

∴x=，

∴直徑AB=25．