Question

【題目】如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為邊在第一象限內作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．

（1）試找出圖1中的一個損矩形；

（2）試說明（1）中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；

（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發生變化？若沒有發生變化，求出點N的坐標；若發生變化，請說明理由；

（4）在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）N點的坐標為（0，﹣1）；（4）D點坐標為（3，0）．

【解析】

試題（1）根據題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；

（2）證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可；

（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進而得到OA=ON，即可求得點N的坐標；

（4）根據正方形的性質及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．

(1)四邊形ABMD為損矩形；

(2)取BD中點H，連結MH，AH

∵四邊形OABC，BDEF是正方形

∴△ABD，△BDM都是直角三角形

∴HA=BD HM=BD

∴HA=HB=HM=HD=BD

∴損矩形ABMD一定有外接圓

(3)∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H

∴MAD =MBD

∵四邊形BDEF是正方形

∴MBD=45°

∴MAD=45°

∴OAN=45°

∵OA=1

∴ON=1

∴N點的坐標為（0，-1）

(4) 延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥軸于點Q

設MG=，則四邊形APMQ為正方形

∴PM=AQ=-1 ∴OG=MQ=-1

∵△MBP≌△MDQ

∴DQ=BP=CG=-2

∴MN2

ND2

MD2

∵四邊形DMGN為損矩形

∴

∴

∴=2.5或=1(舍去)

∴OD=3

∴D點坐標為(3，0).