Question

【題目】如圖，把一個(gè)量角器與一塊30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，現(xiàn)有射線CP繞點(diǎn)C從CA開始沿順時(shí)針方向以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)到與CB重合，就停止旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．連接BE．

（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后，點(diǎn)E處的讀數(shù)為y°，則y與x的函數(shù)關(guān)系式________．

（2）當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)________秒時(shí)，△BCE是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）y=4x（0≤x≤45）；（2）7.5或30

【解析】

（1）由題意∠ACE=2x°，∠AOE=y°，根據(jù)圓周角定理可知∠AOE=2∠ACE，可得y=4x（0≤x≤45）；
（2）分兩種情形分別討論求解即可，①如圖，當(dāng)BE=EC時(shí)，則有EO垂直平分BC，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AOE=∠BAC=30°，再利用圓周角定理得出∠ACE的度數(shù)，從而可得出結(jié)果；②當(dāng)BC=BE時(shí)，則有OB垂直平分EC，先判定△BOE是等邊三角形，再求出∠AOE的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠ACE的度數(shù)，從而可得出結(jié)果．

解：（1）如圖，由題意知∠ACE=2x°，∠AOE=y°，

又∠ACB=90°，∴點(diǎn)C在以O為圓心，AB為直徑的圓上，

又MN=AB，∴點(diǎn)C也在以MN為直徑的圓上，

∴∠AOE=2∠ACE=4x°，

故答案為：y=4x（0≤x≤45）；

（2）①如圖，當(dāng)BE=EC時(shí)，

連接OC，則OB=OC，又EB=EC，

∴EO垂直平分BC，

∵AC⊥BC，∴EO∥AC，

∴∠AOE=∠BAC=30°，

∴∠ACE=∠AOE=15°，

t=15÷2=7.5（秒）．

②如圖，當(dāng)BC=BE時(shí)，

連接OC，則OE=OC，又BC=BE，

∴OB垂直平分EC，

∴∠OBE=∠OBC=60°，

又OE=OB，

∴△BOE是等邊三角形，

∴∠AOE=120°，

∴∠ACE=∠AOE=60°，

∴t=60÷2=30（秒）．

綜上可知，當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)7.5秒或30秒時(shí)，△BCE是等腰三角形．

故答案為：7.5或30．