Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，過A，B，D三點的⊙O分別交BC，CD于點E，M，下列結論：

①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直徑為2；④AE=AD．

其中正確的結論有______（填序號）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

連接BD，BM，AM，EM，DE，根據圓周角定理的推論可判定四邊形ADMB是矩形，進一步可判斷①；在①的基礎上可判定四邊形AMCB是平行四邊形，進而得BE∥AM，即可判斷②；易證∠AEM=∠ADM=90，DM=EM，再利用角的關系可得∠ADE=∠AED，繼而可判斷④；由題設條件求不出⊙O的直徑，故可判斷③.

解：連接BD，BM，AM，EM，DE，

∵∠BAD=90°，∴BD為圓的直徑，∴∠BMD=90°，

∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，

∴四邊形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，

又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正確；

∵AB∥MC，AB=MC，∴四邊形AMCB是平行四邊形，

∴BE∥AM，∴，故②正確；

∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，

∵∠ADM=90，∴AM是直徑，∴∠AEM=∠ADM=90，

∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正確；

由題設條件求不出⊙O的直徑，所以③錯誤；

故答案為：①②④.