Question

【題目】已知一次函數y=kx+b與反比例函數y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），與y軸交于C點．
（1）求反比例函數和一次函數解析式；
（2）如圖1，若將y=kx+b向下平移，使平移后的直線與y軸交于F點，與雙曲線交于D，E兩點，若S△ABD=3，
求D，E的坐標．

（3）如圖2，P為直線y=2上的一個動點，過點P作PQ∥y軸交直線AB于Q，交雙曲線于R，若QR=2QP，求P點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：點A（﹣1，2）在反比例函數y= 的圖象上，

∴m=（﹣1）×2=﹣2，

∴反比例函數的表達式為y=﹣ ，

∵點B（2，n）也在反比例函數的y=﹣ 圖象上，

∴n=﹣1，

即B（2，﹣1）

把點A（﹣1，2），點B（2，﹣1）代入一次函數y=kx+b中，得 ，

解得：k=﹣1，b=1，

∴一次函數的表達式為y=﹣x+1，

答：反比例函數的表達式是y=﹣ ，一次函數的表達式是y=﹣x+1；

（2）解：如圖1，

連接AF，BF，

∵DE∥AB，

∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的兩三角形面積相等），

∵直線AB的解析式為y=﹣x+1，

∴C（0，1），

設點F（0，m），

∴AF=1﹣m，

∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|xA|+ CF×|xB|= （1﹣m）×（1+2）=3，

∴m=﹣1，

∴F（0，﹣1），

∵直線DE的解析式為y=﹣x+1，且DE∥AB，

∴直線DE的解析式為y=﹣x﹣1①．

∵反比例函數的表達式為y=﹣ ②，

聯立①②解得， 或

∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；

（3）解：如圖2

由（1）知，直線AB的解析式為y=﹣x﹣1，雙曲線的解析式為y=﹣ ，

設點P（p，2），

∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），

PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，

∵QR=2QP，

∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，

解得，p= 或p= ，

∴P（ ，2）或（ ，2）或（ ，2）或（ ，2）．

【解析】（1）把A的坐標代入反比例函數的解析式可求得m的值，從而可得到反比例函數的解析式；把點A和點B的坐標代入一次函數的解析式可求得一次函數的解析式；
（2）依據同底等高的兩個三角形的面積相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面積公式可求得點F的坐標，即可得出直線DE的解析式，即可求出交點坐標；
（3）設點P（p，2），則Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣ ），然后可表示出PQ與QR的長度，最后依據QR=2QP，可得到關于p的方程，從而可求得p的值，從而可得到點P的坐標.