Question

【題目】一張如圖1的長方形鐵皮，四個角都剪去邊長為的正方形，再四周折起，做成一個有底無蓋的鐵盒如圖2，鐵盒底面長方形的長是，寬是這個無蓋鐵盒各個面的面積之和稱為鐵盒的全面積．

（1）圖1中原長方形鐵皮的面積為_；（用的代數式表示）

（2）若要在鐵盒的各個外表面漆上某種油漆，每元錢可涂的面積為，則涂完這個鐵盒需要多少錢？（用的代數式表示）

（3）是否存在一個最大正整數，使得鐵盒的全面積是底面積的正整數倍？若存在，請直接寫出這個，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）12a2＋420a＋3600；（2）涂完這個鐵盒需要(480a＋16800)元；（3）a＝35或7或5或1

【解析】

（1）根據圖形表示出原長方形鐵皮的長和寬，進而表示出原長方形鐵皮的面積即可；

（2）根據原長方形鐵皮的面積剪去四個小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，乘以單價即可得到結果；

（3）假設存在，列出鐵盒的全面積和底面積的公式，求整數倍數即可．

解：（1）原鐵皮的面積是（4a＋60）（3a＋60）＝12a2＋420a＋3600，

故答案為：12a2＋420a＋3600；

（2）油漆這個鐵盒的表面積是：12a2＋2×30×4a＋2×30×3a＝12a2＋420a，

則油漆這個鐵盒需要的錢數是：（12a2＋420a）÷＝（12a2＋420a）×＝480a＋16800（元），

答：涂完這個鐵盒需要(480a＋16800)元；

（3）鐵盒的全面積是4a×3a＋4a×30×2＋3a×30×2＝12a2＋420a，

底面積是4a×3a＝12a2，

假設存在正整數n，使12a2＋420a＝n·12a2

整理得（n－1）a＝35，

則a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36

所以存在鐵盒的全面積是底面積的正整數倍，這時a＝35或7或5或1．