Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(﹣2，0)和B(8，0)兩點，交y軸于點C，點D是線段OB上一動點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥l于F．

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2，當點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長；

(3)在(2)的條件下：

①連接DF，求tan∠FDE的值；

②試探究在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）OD=2；（3）①tan∠FDE=；②存在,點G的坐標為（4，﹣）或（6，12）．

【解析】（1）利用待定系數法求得即可；
（2）根據C的縱坐標求得F的坐標，然后通過△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的長；
（3）①先確定C、D、E、F四點共圓，根據圓周角定理求得∠ECF=∠EDF，可求得tan∠FDE== ;②連接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，過D點作DG1∥CE，交直線l于G1，過D點作DG2⊥CE，交直線l于G2，則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直線CE的解析式為，即可設出直線DG1的解析式為，直線DG2的解析式為y=3x+n，把D的坐標代入即可求得m、n，從而求得解析式，進而求得G的坐標．

本題解析：（1）如圖1，∵拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A（﹣2，0）和B（8，0）兩點，

∴ 解得．

∴拋物線解析式為：

（2）如圖2，∵點F恰好在拋物線上，C（0，4）， ∴F的縱坐標為4，

把y=4代入， 解得x=0或x=6， ∴F（6，4）， ∴OH=6，

∵∠CDE=90°， ∴∠ODC+∠EDH=90°， ∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=4， ∴OD=6﹣4=2；

（3）①如圖3，連接CE， ∵△OCD≌△HDE， ∴HE=OD=2，

∵BF=OC=4， ∴EF=4﹣2=2，

∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四點共圓， ∴∠ECF=∠EDF，

在RT△CEF中，∵CF=OH=6， ∴tan∠ECF== ， ∴tan∠FDE=；

②如圖4，連接CE， ∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，

過D點作DG1∥CE，交直線l于G1，過D點作DG2⊥CE，交直線l于G2，則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°

∵EH=2，OH=6， ∴E（6，2），

∵C（0，4）， ∴直線CE的解析式為，

設直線DG1的解析式為，

∵D（2，0）， ∴，解得m＝， ∴直線DG1的解析式為，

當x=6時， ∴G1（6，﹣）；

設直線DG2的解析式為y=3x+n，

∵D（2，0）， ∴0=3×2+n，解得n=﹣6， ∴直線DG2的解析式為y=3x﹣6，

當x=6時，y=3×6﹣6=12， ∴G2（6，12）；

綜上，在直線l上，是否存在點G，使∠EDG=45°，點G的坐標為（4，﹣ ）或（6，12）．