Question

【題目】如圖，五邊形是邊長為的正五邊形，是正五邊形的外接圓，過點作的切線，與、的延長線交分別于點和，延長、相交于點，那么的長度是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先證明AG=AF，由SSS得到△OHD與△OED全等，得出∠ODH=∠ODE=54°，證出∠B=∠C=72°，設GB=xcm，由△DHB∽△GBD，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式，求出x的值，即可得出結果．

：∵五邊形DEFGH是正五邊形，
∴∠HDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=108°，
∴∠BHD=∠CED=∠AGF=∠AFG=72°，
∴AG=AF，
∴△AGF是等腰三角形；
連接DG，如圖所示：

∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC，
∴∠BFO=∠CFO=90°，
在△OHD與△OED中，，
∴△OHD≌△OED（SSS），
∴∠ODH=∠ODE=54°，
∴∠HDB=∠EDC=36°，
∴∠B=∠C=72°，
∴BD=DH=DE=DC=GF，
∴GF=BC，
∵∠B=∠AGF=72°，
∴FG∥BC，
∴四邊形FGDC是平行四邊形，
∴GD∥CA，
∵BD=CD，
∴AG=GB，
∴點G是線段AB的中點；
∵五邊形DEFGH是正五邊形，
∴BD=DH=GH=2，
設GB=x，
∵∠BDH=∠BGD，∠B=∠B，
∴△DHB∽△GBD，
∴，即，
整理得：x2-2x-4=0，
解得：x=1±（負值舍去），
∴AG=GB=1+，
∴AB=2+2；
故答案為：2+2．