Question

【題目】如圖1，拋物線與鈾交于，與軸交于拋物線的頂點為直線過交軸于．

（1）寫出的坐標和直線的解析式；

（2）是線段上的動點(不與重合)，軸于設四邊形的面積為，求與之間的兩數關系式，并求的最大值；

（3）點在軸的正半軸上運動，過作軸的平行線，交直線于交拋物線于連接，將沿翻轉，的對應點為.在圖2中探究：是否存在點；使得恰好落在軸？若存在，請求出的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），當時，有最大值，最大值為；（3）存在．點的坐標為或．

【解析】

（1）先把拋物線解析式配成頂點式即可得到D點坐標，再求出C點坐標，然后利用待定系數法求直線l的解析式；

（2）先根據拋物線與x軸的交點問題求出B（3，0），再利用待定系數法求出直線BD的解析式為y=-2x+6，則P（x，-2x+6），然后根據梯形的面積公式可得，再利用二次函數的性質求S的最大值；

（3）如圖2，設Q（t，0）（t＞0），則可表示出，利用兩點間的距離公式得到，，然后證明NM=CM得到，再解絕對值方程求滿足條件的t的值，從而得到點Q的坐標．

，

當時，

則，

設直線的解析式為，

把分別代入得

解得，

直線的解析式為；

當時，，

解得，

則

設直線的解析式為

把分別代入得，

解得，

直線的解析式為

則，

，

當時，有最大值，最大值為；

存在．

如圖2，設，

則

，

，

沿翻轉，的對應點為落在軸上，

，

∵軸，

當，

解得(舍去)，，

此時點坐標為；

當，

解得：(舍去)，，

此時點坐標為，

綜上所述：點的坐標為或．