Question

【題目】已知：在以為原點的平面直角坐標系中，拋物線的頂點為點，且經過點，，三點．

（1）求直線和該拋物線相應的函數表達式；

（2）如圖①，點為拋物線上的一個動點，且在直線的上方，過點作軸的平行線與直線交于點，求的最大值．

（3）如圖②，過點的直線交軸于點，且軸，點是拋物線上，之間的一個動點，直線，與分別交于，，當點運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）是，的定值為18．

【解析】

（1）直接利用待定系數法即可求出直線OB的解析式，然后將拋物線的解析式設為兩點式，然后將點B的坐標代入即可求出拋物線的解析式；

（2）設，則可表示出N的坐標，由MN的縱坐標相同可得到s和t的關系式，然后利用二次函數的性質求最大值即可；

（3）設點，則可表示出PQ,CQ,DQ,再利用相似三角形的性質可用t分別表示出EF和EG的長度，則可求出答案．

（1）設直線OB的解析式為，

將代入解析式中得，，

解得 ，

∴直線OB解析式為；

∵拋物線經過點，

∴可設拋物線解析式為 ．

∵拋物線經過，

，

解得 ，

∴拋物線解析式為 ；

（2）設，則N的坐標為 ，

軸，

，

，

∴當時，MN有最大值，最大值為 ；

（3），理由如下：

過點P作軸交x軸于點Q，

由，

∴ ．

設，則，

，

，

，

．

同理，

，

，

∴當P運動時，為定值18．