Question

【題目】對任意一個三位數n，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為F（n）．例如n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．

（1）計算：F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數），規定：k=，當F（s）+F（t）=18時，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據F（n）的定義式，分別將n=243和n=617代入F（n）中，即可求出結論；

（2）由s=100x+32、t=150+y結合F（s）+F（t）=18，即可得出關于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根據“相異數”的定義結合F（n）的定義式，即可求出F（s）、F（t）的值，將其代入k=中，找出最大值即可．

試題解析：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；

F（617）=（167+716+671）÷111=14．

（2）∵s，t都是“相異數”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．

∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．

∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數，∴或或或或或．

∵s是“相異數”，∴x≠2，x≠3．

∵t是“相異數”，∴y≠1，y≠5，∴或或，∴或或，∴k==或k==1或k==，∴k的最大值為．