Question

如圖，△ABC中，BC=1，若D₁、E₁分別是AB、AC的中點，D₂、E₂分別是D₁B、E₁C的中點，D₃、E₃分別是D₂B、E₂C的中點，…，D_n、E_n分別是D_n-1B、E_n-1C的中點，則D₁E₁=

1

2

，進一步計算D₂E₂，D₃E₃，…，猜想D_nE_n=

2n-1

2n

（n≥1，且n為整數）．

Answer 1

分析：在△ABC中、BC=1，若D₁、E₁分別是AB、AC的中點，根據中位線定理先分別求出D₁E₁，D₂E₂，D₃E₃，然后觀察規律，從而得出一般形式即可．

解答：解：在△ABC中、BC=1，若D₁、E₁分別是AB、AC的中點，根據中位線定理得：D₁E₁=

1

2

=

21-1

21

，
∵D₂、E₂分別是D₁B、E₁C的中點，
∴D₂E₂=

1

2

（

1

2

+1）=

3

4

=

22-1

22

，
∵D₃、E₃分別是D₂B、E₂C的中點，
則D₃E₃=

1

2

（

3

4

+1）=

7

8

=

23-1

23

，
…
根據以上可得：若D_n、E_n分別是D_n-1B、E_n-1C的中點，則D_nE_n=

2n-1

2n

，
故答案為：

1

2

，

2n-1

2n

，

點評：本題考查了梯形中位線定理，難度一般，關鍵是根據特殊找出一般的規律，進而得出答案．