Question

【題目】在菱形中，．

（1）如圖1，點為線段的中點，連接，．若，求線段的長．

（2）如圖2，為線段上一點（不與，重合），以為邊向上構造等邊三角形，線段與交于點，連接，，為線段的中點．連接，判斷與的數量關系，并證明你的結論．

（3）在（2）的條件下，若，請你直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）EC=；（2）DM=2DQ；（3）DM+CN的最小值為2．

【解析】

（1）如圖1，連接對角線BD，先證明△ABD是等邊三角形，根據E是AB的中點，由等腰三角形三線合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的長；

（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，先證明△ADH是等邊三角形，再由△AMN是等邊三角形，得條件證明△ANH≌△AMD（SAS），則HN=DM，根據DQ是△CHN的中位線，得HN=2DQ，由等量代換可得結論．

（3）先判斷出點N在CD的延長線上時，CN+DM最小，最小為CH，再判斷出∠ACD=30°，即可用三角函數求出結論．

解：（1）如圖1，

連接BD，則BD平分∠ABC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABC=120°，

∴∠ABD=∠ABC=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD=AD=4，

∵E是AB的中點，

∴DE⊥AB，

由勾股定理得：DE=，

∵DC∥AB，

∴∠EDC=∠DEA=90°，

在Rt△DEC中，DC=4，

EC=；

（2）如圖2，

延長CD至H，使DH=CD，連接NH、AH，

∵AD=CD，

∴AD=DH，

∵CD∥AB，

∴∠HDA=∠BAD=60°，

∴△ADH是等邊三角形，

∴AH=AD，∠HAD=60°，

∵△AMN是等邊三角形，

∴AM=AN，∠NAM=60°，

∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，

∴∠HAN=∠DAM，

在△ANH和△AMD中，

∴△ANH≌△AMD（SAS），

∴HN=DM，

∵D是CH的中點，Q是NC的中點，

∴DQ是△CHN的中位線，

∴HN=2DQ，

∴DM=2DQ．

（3）如圖2，由（2）知，HN=DM，

∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，

即：點C，H，N在同一條線上時，CN+DM最小，

此時，點D和點Q重合，

即：CN+DM的最小值為CH，

如圖3，

由（2）知，△ADH是等邊三角形，

∴∠H=60°．

∵AC是菱形ABCD的對角線，

∴∠ACD=∠BCD=∠BAD=30°，

∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ACH中，CH==2，

∴DM+CN的最小值為2．