Question

【題目】如圖，兩個以點O為圓心的同心圓，

圖1 圖2
（1）如圖1，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，試判斷AC與BD的數量關系，并說明理由.
（2）如圖2，將大圓的弦AB向下平移使其為小圓的切線，切點為C，證明：AC=BC.
（3）在（2）的基礎上，已知AB=20cm，直接寫出圓環的面積.

Answer 1

【答案】
（1）解：AC=BD，理由是：
過O作OH⊥AB，由垂徑定理得AH=BH，CH=DH，

AH-CH=BH-DH，
即AC=BD
（2）解：連接OC，如圖，

AB是小圓的切線，
OC⊥AB，則AC=BC
（3）解：如圖，連接OB．

∵大圓的弦AB是小圓的切線， ∴OC⊥AB，AC=CB， ∴OB2-OC2=（20÷2）2=102 ， ∵S圓環=S大-S小=πOB2-πOC2=π（OB2-OC2）， ∴S圓環=100πcm2
【解析】（1）AC=BD，理由是：過O作OH⊥AB，由垂徑定理得AH=BH，CH=DH，根據等式的性質得出AH-CH=BH-DH，從而得出AC=BD ；
（2）連接OC，如圖，根據切線的性質定理得出OC⊥AB，再根據垂徑定理得出AC=BC ；
（3）連接OB．根據切線的性質定理得出OC⊥AB，再根據垂徑定理得出AC=BC ，然后根據勾股定理及等式的性質得出OB2-OC2=（20÷2）2=102 ，然后根據S圓環=S大-S小=πOB2-πOC2=π（OB2-OC2）算出答案。