Question

【題目】已知AM是⊙O直徑，弦BC⊥AM，垂足為點N，弦CD交AM于點E，連按AB和BE．

（1）如圖1，若CD⊥AB，垂足為點F，求證：∠BED＝2∠BAM；

（2）如圖2，在（1）的條件下，連接BD，若∠ABE＝∠BDC，求證：AE＝2CN；

（3）如圖3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3

【解析】

（1）根據垂徑定理可得BN＝CN，根據垂直平分線的性質可得EB＝EC，從而可得∠BED＝2∠BCD，只需證明∠BAM＝∠BCD即可；

（2）連接AC，如圖2，易得BC＝2CN，要證AE＝2CN，只需證AE＝BC，只需證△ABE≌△CDB，只需證BE＝BD即可；

（3）過點O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，連接OC，如圖3，由AB＝CD可推出OP＝OQ，易證∠BEA＝∠CEA，根據角平分線的性質可得OH＝OQ，即可得到OP＝OH，則有，從而可得由AE＝11可求出AO、EO，就可求出AM、EM．

解：（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，

∴∠ENC＝∠EFA＝90°．

∵∠AEF＝∠CEN，

∴∠BAM＝∠BCD．

∵AM是⊙O直徑，弦BC⊥AM，

∴BN＝CN，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠BCD，

∴∠BED＝2∠BCD＝2∠BAM；

（2）連接AC，如圖2，

∵AM是⊙O直徑，弦BC⊥AM，

∴=

∴∠BAM＝∠CAM，

∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BAM＝∠BED，

∴BD＝BE．

在△ABE和△CDB中，

∴△ABE≌△CDB，

∴AE＝CB．

∵BN＝CN，

∴AE＝CB＝2CN；

（3）過點O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，連接OC，如圖3，

則有

∵AB＝CD，

∴AP＝CQ，

∴

∵AM垂直平分BC，

∴EB＝EC，

∴∠BEA＝∠CEA．

∵OH⊥BE，OQ⊥CD，

∴OH＝OQ，

∴OP＝OQ＝OH，

∴

又∵

∴

設AO＝7k，則EO＝4k，

∴AE＝AO+EO＝11k＝11，

∴k＝1，

∴AO＝7，EO＝4，

∴AM＝2AO＝14，

∴EM＝AM﹣AE＝14﹣11＝3．