Question

【題目】已知：如圖 ，AD 是∠BAC 的平分線，且 DF⊥AC 于 F，∠B=90°，DE=DC.

（1）求證：BE=CF.

（2）若△ADE 和△DCF 的面積分別是12和5，求△ABC 的面積.

（3）請你寫出∠BAC與∠CDE有什么數量關系？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）39；（3）互補；

【解析】

（1）先由角平分線的性質就可以得出DB=DF，再證明△BDE≌△FDC就可以求出結論．（2）由△BDE和△FDC面積相等，△ABD和△ADF面積相等，轉換得出△ABC的面積即可；(3)通過∠ACD=∠BED推出∠ACD+∠ AED=180°，再通過四邊形AEDC的內角和為360°即可求出∠BAC與∠CDE的關系.

（1）證明：

∵∠B=90°，

∴BD⊥AB．

∵AD為∠BAC的平分線，且DF⊥AC，

∴DB=DF．

在Rt△BDE和Rt△FDC中，

∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），

∴BE=CF

（2）解：∵△BDE≌△FDC

∴△ BDE的面積為5，

則S△ABD=17，

∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC，

∴S△ABD=S△ADF=17，

∴S△ABC=17+17+5=39

（3）解：∵△BDE≌△FDC

∴∠ACD=∠BED，

∵∠ BED+∠AED=180°，

∴∠ACD+∠AED=180°，

在四邊形AEDC中，

∵四邊形內角和為360°，∠ACD+∠AED=180°，

∴∠BAC +∠CDE=180°，即∠BAC 與∠CDE互補.