Question

【題目】如圖1所示在平面直角坐標系中，有長方形OABC，O是坐標原點，A(a,0）,C（0，b），且a,b滿足

（1）求A,B,C三點坐標；

（2）如圖2所示，長方形對角線OB、AC交于D點，若有一點P從A點出發，以1單位/秒速度向x軸負方向勻速運動，同時另一點Q從O出發，以2個單位/秒，沿長方形邊長O-C-B順時針勻速運動，當Q到達B點時P、Q同時停止運動，設P點開始運動時間為t，請問：當t為何值時有S△OCP≤S△ODQ ？

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）B（4，8）C（0，8）；（2）≤t<4或4<t≤5.

【解析】

(1)由算術平方根的被開方數為非負數可求得a的值，繼而求得b的值，再根據長方形的性質即可求得答案；

(2)分0≤t<4，t=4，4<t≤6三種情況分別討論即可求得答案.

(1)由，得

，

解得a=4，

所以b-2=6，

解得b=8，

所以A(4，0)，C(0，8)，

所以OA=4，OC=8，

又因為ABCD是長方形，

所以AB=OC=8，BC＝OA=4，

所以C(4，8)；

(2)過D作DE⊥OC于點E，則有DE=2，OE=CE=4，

①當0≤t<4時，如圖(1)，

S△OCP=OC·OP=×8×(4-t)，

S△ODQ=OQ·DE=×2t×2，

令S△OCP≤S△ODQ，

即有×8×(4-t)≤×2t×2，

解得t≥；

②當t=4時，△OPC不存在，舍去；

③當4<t≤6時，如圖(2)

S△OCP=OC·OP=×8×(t-4)，

S△ODQ=S△OBC-S△OCQ-S△DBQ=OC·BC-OC·CQ-BQ·CE

=×4×8-×8×(2t-8)-×(8+4-2t)×4，

令S△OCP≤S△ODQ，

即有×8×(t-4)≤×4×8-×8×(2t-8)-×(8+4-2t)×4，

解得 t≤5，

綜上所述，當≤t<4或4<t≤5時成立.