Question

已知二次函數y=x²-2mx+4m-8

（1）當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；
（2）以拋物線y=x²-2mx+4m-8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMN（M，N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；
（3）若拋物線y=x²-2mx+4m-8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數m的值。

Answer 1

解：（1），
∴由題意得，m≥2；
（2）根據拋物線和正三角形的對稱性，可知MN⊥y軸，設拋物線的對稱軸與MN交于點B，則AB=，
設M（a，b）
∴BM=a-m（m<a），
又AB====
∴，
∴a-m=，
∴BM=，AB=3，
∴定值；
（3）令y=0，即時，有，
由題意，為完全平方數，令，即，
∵m，n為整數，∴n+m-2，n-m+2的奇偶性相同，
∴或，
解得或，
綜合得m=2。