Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F，G，連接ED，DG．

（1）△EFD≌△GFB．
（2）試判斷四邊形FBGD的形狀，并說明理由．
（3）當△ABC滿足條件時，四邊形FBGD是正方形（不用說明理由）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB

（2）解：四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形

（3）∠ABC=90°
【解析】解：（3）當△ABC是直角三角形，即∠ABC=90°時，四邊形FBGD是正方形，根據有一個角是直角的菱形是正方形可以得出．

所以答案是：∠ABC=90°．

【考點精析】利用菱形的性質和正方形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．