Question

【題目】如圖：等腰△ABC中，AB=AC,點D在AC右側，∠BAC=∠BDC=120°

（1）猜想DA,DC,DB的數量關系并證明

（2）點D 在AB邊左側時三條線段關系是否發生變化？請畫出圖形。若變化，直接寫出結論.

Answer 1

【答案】（1）DB=DC+AD，理由見解析；

（2）CD=BD +AD，理由見解析.

【解析】

（1）在BD上取點E使AE=AD，作AF⊥ED，根據等腰三角形的性質得到EF=FD，根據三角形內角和定理得到∠ABC=∠ACB=30°，根據圓周角定理得到∠ADE=∠ACB=30°，根據勾股定理得到DF=AD，證明△BAE≌△CAD，根據全等三角形的性質得到BE=CD，結合圖形證明即可；

（2）結論：CD=AD+BD．在CD上取點M使AM=AD，作AN⊥DM，根據等腰三角形的性質得到DN=MN，根據三角形內角和定理得到∠ABC=∠ACB=30°，根據圓周角定理得到∠ADC=∠ABC=30°，根據勾股定理得到DN=AD，證明△DAB≌△MAC，根據全等三角形的性質得到BD=CM，結合圖形證明即可.

（1）DB=DC+AD，

理由如下：在BD上取點E使AE=AD，作AF⊥ED，則EF=FD，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠ACB=30°，

∵∠BAC=∠BDC=120°，

∴A，B，C，D四點共圓，

∴∠ADB=∠ACB=30°，

∴AF=AD，

∴DF=AD，

∴DE=AD，

∵∠BAC=120°，∠EAD=120°，

∴∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴BE=CD，

∴DB=BE+DE=DC+AD；

（2）如圖：

CD=BD +AD，

理由：在CD上取點M使AM=AD，作AN⊥DM，則DN=MN，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABC=∠ACB=30°，

∵∠BAC=∠BDC=120°，

∴A，B，C，D四點共圓，

∴∠ADC=∠ABC=30°，

∴AN=AD，

∴DN=AD，

∴DM=AD，

∵∠DAM=120°，∠BAC=120°，

∴∠DAB=∠MAC，

在△DAB和△MAC中，，

∴△DAB≌△MAC（SAS）

∴BD=CM，

∴DC=CM+DM=BD+AD.