Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上．

（1）如圖1，點A與點C關于y軸對稱，點E、F分別是線段AC、AB上的點（點E不與點A、C重合），且∠BEF＝∠BAO．若∠BAO＝2∠OBE，求證：AF＝CE；

（2）如圖2，若OA＝OB，在點A處有一等腰△AMN繞點A旋轉，且AM＝MN，∠AMN＝90°．連接BN，點P為BN的中點，試猜想OP和MP的數量關系和位置關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OP⊥MP且OP＝MP，理由見解析．

【解析】

（1）設∠OBE＝α，∠AEF＝β，證明∠EBC＝∠AEF，EB＝EF，進而可以證明△AEF和△CBE（AAS），利用全等三角形的對應邊相等，即可解答；

（2）OP＝MP且OP⊥MP，延長MP至C，且使PC＝MP，連接BC、MO，延長AM交BC于D，連接CO，NO，證明△MPN≌△CPB（SAS），得到BC＝MN＝AM，∠MNP＝∠CBP，再證明△MOC為等腰直角三角形，根據MP＝CP，即可得到OP⊥MP且OP＝MP．

（1）證明：如圖1，

設∠OBE＝α，∠AEF＝β，

∴∠BAO＝∠BEF＝2α，

∵點A、C關于y軸對稱，

∴BA＝BC，

∴∠BAO＝∠BCO＝2α，

∵∠AEB＝2α＋β＝∠BCO＋∠EBC，

∴∠EBC＝β，

即∠EBC＝∠AEF，

∵∠BFE＝∠BAO＋∠FEA＝2α＋β，

又∠ABO＝∠CBO＝α＋β，

∴∠FBE＝α＋β＋α＝2α＋β，

∴∠BFE＝∠FBE，

∴EB＝EF，

在△AEF和△CBE中，

，

∴△AEF≌△CBE（AAS）

∴AF＝CE；

（2）OP＝MP且OP⊥MP，

理由如下：

延長MP至C，且使PC＝MP，連接BC、MO，延長AM交BC于D，連接CO，NO，

∵點P為BN的中點，

∴PN＝PB，

在△MPN和△CPB中，

，

∴△MPN≌△CPB（SAS）

∴BC＝MN＝AM，∠MNP＝∠CBP，

∴MN∥BC，

∵∠AMN＝90°，

∴AD⊥BC，

∴∠MAO＝∠CBO，

∴△MAO≌△CBO(SAS)，

∴∠MOA＝∠COB，MO＝CO，

∴∠MOC＝∠MOB＋∠BOC＝∠MOB＋∠MOA＝∠AOB＝90°，

∴△MOC為等腰直角三角形，

∵MP＝CP，

∴OP⊥MP且OP＝MP．