Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+b（b＞0）與其垂線y=x交于H，與雙曲線c：y=（k＞0）在第一象限交于A，B，與兩坐標軸交于C，D．

（1）當A的坐標為（2，1）時，求k的值和OH的長；

（2）若CH2﹣HA2=4，求雙曲線c的方程.

Answer 1

【答案】（1）OH=；（2）設雙曲線c的方程為y=．

【解析】分析：（1）將A（2，1）代入y=，可得k=2，過A作AM⊥x軸于M，則AM=MC=1，OM=2，可得OC=OM+MC=3，依據∠HOC=45°，即可得到OH=OC=；

（2）設點A的坐標為（x，y）且x＞y，則OC=OM+MC=x+y，OH=HC=OC=（x+y），進而得出HA=HC﹣AC=（x﹣y），根據CH2﹣HA2=[（x+y）]2﹣[（x﹣y）]2=2xy=2k=4，即可得到k的值．

詳解：（1）將A（2，1）代入y=，可得：k=2×1=2，

過A作AM⊥x軸于M，則AM=MC=1，OM=2，∴OC=OM+MC=3．

∵∠HOC=45°，∴OH=OC=；

（2）設點A的坐標為（x，y）且x＞y，則OC=OM+MC=x+y，OH=HC=OC=（x+y）．

又∵AC=AM=y，∴HA=HC﹣AC=（x﹣y）．

∵CH2﹣HA2=[（x+y）]2﹣[（x﹣y）]2=2xy=2k=4，∴k=2，

∴雙曲線c的方程為y=．