Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（8，0），∠AOC＝60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方）．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）設△OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒（0≤t≤12），求S與t的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，t為何值時，S最大？并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（4，4），B（12，4）；（2）①0≤t≤4時，S＝t2；②當4＜t≤8時，S＝2t；③當8＜t≤12時，S＝﹣t2+6t；（3）當t＝8時，S最大＝16

【解析】

（1）過點A作AD⊥OC于D，根據菱形的性質可得OA＝AB＝BC＝CO＝8，然后根據銳角三角函數即可求出OD和AD，從而求出點A和點B的坐標；

（2）根據直線l與菱形相交的情況分類討論，分別畫出對應的圖形，然后根據銳角三角函數和三角形的面積公式計算即可；

（3）利用一次函數增減性和二次函數的增減性分別求出（2）中S的最值，最后取S的最大值即可．

解：（1）過點A作AD⊥OC于D，

∵四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（8，0），

∴OA＝AB＝BC＝CO＝8．

∵∠AOC＝60°，

∴OD＝OA·cos∠AOD=4，AD＝OA·sin∠AOD=4．

∴A（4，4），B（12，4）；

（2）直線l從y軸出發，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：

①0≤t≤4時，直線l與OA、OC兩邊相交，（如圖①）．

∵MN⊥OC，

∴ON＝t．

∴MN＝ONtan60°＝t．

∴S＝ONMN＝t2；

②當4＜t≤8時，直線l與AB、OC兩邊相交，（如圖②）．

S＝ONMN＝×t×4＝2t；

③當8＜t≤12時，直線l與AB、BC兩邊相交，（如圖③）．

設直線l與x軸交于點H．

∵MN＝4﹣（t﹣8）＝12﹣t，

∴S＝OHMN＝×t×（12﹣t）

＝﹣t2+6t；

（3）由（2）知，當0≤t≤4時，S＝t2中，＞0，對稱軸為直線t=0

∴當t＞0時，S隨t的增大而增大

∴S最大＝×42＝8，

當4＜t≤8時，S＝2t中，2＞0

∴S隨t的增大而增大

∴S最大＝2×8=16，

當8＜t≤12時，S＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣6）2+18中，﹣＜0，對稱軸為直線t=6

∴當t＞6時，S隨t的增大而減小

∴當8＜t≤12時，S＜16

綜上所述，當t＝8時，S最大＝16．