Question

【題目】在平面直角坐標系中，BC∥OA，BC=3，OA=6，AB=3

（1）直接寫出點B的坐標

（2）已知D.E分別為線段OC.OB上的點，OD=5，OE=2BE，直線DE交x軸于點F，求直線DE的解析式

（3）在（2）的條件下，點M是直線DE上的一點，在x軸上方是否存在另一個點N，使以O.D.M.N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）B（3,6） (2) y=-x+5 (3) 存在N1 （4,8） N2 （-5,2.5）N3（-2,）

【解析】分析：（1）作BH⊥x軸于點H，則四邊形OHBC為矩形，則OH=CB=3，進而可求得AH的長，在Rt△ABH中，根據勾股定理即可求出BH的長，由此可得B點坐標；
（2）作EG⊥x軸于點G,則EG∥BH，易得根據相似三角形的對應邊成比例可求出EG、OG的長，即可得到E點的坐標，進而可用待定系數法求出直線DE的解析式；
（3）此題應分情況討論：
①以OD、ON為邊的菱形ODMN，根據直線DE的解析式可求出F點的坐標，即可得到OF的長；過M作 軸于P，通過構建的相似三角形可求出M點的坐標，將M點向下平移OD個單位即可得到N點的坐標；
②以OD、OM為邊的菱形ODNM，此時MN∥y軸，延長NM交x軸于P，可根據直線DE的解析式用未知數設出M點的坐標，進而可在中，由勾股定理求出M點的坐標，將M點向上平移OD個單位即可得到N點的坐標；
③以OD為對角線的菱形OMCN，根據菱形對角線互相垂直平分的性質即可求得M、N的縱坐標，將M點縱坐標代入直線DE的解析式中即可求出M點坐標，而M、N關于y軸對稱，由此可得到N點的坐標．

詳解：(1)作BH⊥x軸于點H，則四邊形OHBC為矩形，

∴OH=CB=3，

∴AH=OAOH=63=3，

在Rt△ABH中,

∴點B的坐標為(3,6)；

(2)作EG⊥x軸于點G,則EG∥BH，

∴△OEG∽△OBH，

∴

又∵OE=2EB，

∴ ∴

∴OG=2，EG=4，

∴點E的坐標為(2,4)，

又∵點D的坐標為(0,5)，

設直線DE的解析式為y=kx+b，

則

解得

∴直線DE的解析式為：

(3)答：存在；

①如圖1,當OD=DM=MN=NO=5時,四邊形ODMN為菱形.作MP⊥y軸于點P,則MP∥x軸,MPD∽△FOD

∴

又∵當y=0時,

解得x=10，

∴F點的坐標為(10,0)，

∴OF=10，

在Rt△ODF中,

∴

∴

∴點M的坐標為

∴點N的坐標為

②如圖2,當OD=DN=NM=MO=5時,四邊形ODNM為菱形,延長NM交x軸于點P,則MP⊥x軸.

∵點M在直線上，

∴設M點坐標為

在Rt△OPM中,

∴

解得： (舍去)，

∴點M的坐標為(4,3)，

∴點N的坐標為(4,8)；

③如圖3,當OM=MD=DN=NO時,四邊形OMDN為菱形,連接NM,交OD于點P,則NM與OD互相垂直平分,

∴

∴

∴

∴

∴點N的坐標為

綜上所述,x軸上方的點N有三個,分別為