Question

【題目】對于給定的兩個“函數，任取自變量x的一個值，當x<1時，它們對應的函數值互為相反數；當x≥1時，它們對應的函數值相等，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數.例如：一次函數y=x-4，它的相關函數為.

(1)一次函數y= -x+5的相關函數為______________.

(2)已知點A(b-1，4)，點B坐標(b+3，4)，函數y=3x-2的相關函數與線段AB有且只有一個交點，求b的取值范圍.

(3)當b+1≤x≤b+2時，函數y=-3x+b-2的相關函數的最小值為3，求b的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當x＜1時，≤b≤；當x≥1時，≤b≤；

（3）當x＜1時，b=-1; 當x≥1時，b=-

【解析】

（1）根據相關函數的概念可直接得出答案；

（2）由A(b-1，4)，B(b+3，4)得到線段AB在直線y=4上，再求出y=3x-2的兩個相關函數的圖象與直線y=4的交點坐標，從而得到不等式，解不等式即可得出b的取值范圍.

（3）分兩種情況，當x＜1時，y=-3x+b-2的相關函數是y=3x+2-b，根據一次函數的性質得到當x=b+1時，y有最小值為3，列出方程求解即可得出b值；同理，當x≥1時，y=-3x+b-2的相關函數是y=-3x+b-2, 由函數性質列出方程可得出b值.

解：（1）根據相關函數的概念可得，一次函數y= -x+5的相關函數為；

（2）∵A(b-1，4)，B(b+3，4)，

∴線段AB在直線y=4上，且點A在點B的左邊，

當x＜1時，y=3x-2的相關函數是y=2-3x，

把y=4代入y=2-3x，得2-3x=4,解得x=-

∴直線y=4與直線y=2-3x的交點的橫坐標是x=-，

∴b-1≤-≤b+3

解得≤b≤

當x≥1時，y=3x-2的相關函數是y=3x-2，

把y=4代入y=3x-2，得3x-2=4,解得x=2

∴直線y=4與直線y=3x-2的交點的橫坐標是x=2，

∴b-1≤2≤b+3

解得≤b≤

綜上所述，當x＜1時，≤b≤；當x≥1時，≤b≤.

（3）當x＜1時，y=-3x+b-2的相關函數是y=3x+2-b，

∵k=3＞0，y隨x的增大而增大，

∵b+1≤x≤b+2

∴當x=b+1時，y有最小值為3

∴3（b+1）+2-b=3

解得b=-1;

當x≥1時，y=-3x+b-2的相關函數是y=-3x+b-2,

∵k=-3＜0，y隨x的增大而減小，

∵b+1≤x≤b+2

∴當x=b+2時，y有最小值為3

∴-3（b+2）+b-2=3

解得b=-

綜上，當x＜1時，b=-1; 當x≥1時，b=-.