Question

【題目】如圖，在△ABC中，tan∠ABC=，∠ACB=45°，AD=8，AD是邊BC上的高，垂足為D，BE=4，點M從點B出發沿BC方向以每秒3個單位的速度運動，點N從點E出發，與點M同時同方向以每秒1個單位的速度運動．以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點M到達點C時停止運動，點N也隨之停止運動．設運動時間為t（秒）（t＞0）．

（1）當t為多少秒時，點H剛好落在線段AB上？

（2）當t為多少秒時，點H剛好落在線段AC上？

（3）設正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S，求出S關于t的函數關系式并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當t為秒時，點H剛好落在線段AB上；（2）當t為秒時，點H剛好落在線段AC上； （3）S關于t的函數關系式為：S=．

【解析】分析： 如圖1中，當H在AB上時，易知 根據列出方程即可解決問題；

如圖2中，當H在AC上時，根據列出方程即可解決問題；

分四種情形列出方程即可①如圖3中，當時，重疊部分是五邊形MNGPK．②如圖4中，當時，重疊部分是正方形MNGH．③如圖5中，當時，重疊部分是四邊形MNGH．④如圖6中，當時，重疊部分是五邊形MNGKP；

詳解：（1）如圖1，當H在AB上時，

在Rt 中，

∴BD=6，

在Rt 中，∵

由題意得：

∴

∵四邊形MNGH是正方形，

∴

即

當t為秒時，點H剛好落在線段AB上；

（2）如圖2，H在AC上時，

由題意得： 則

∵

∴

當t為秒時，點H剛好落在線段AC上；

（3）分四種情況：

①如圖3，當時，重疊部分是五邊形MNGPK，

∵

∴

∵

∴

∴

∴S=S正方形MNGH-S△PHK，

②如圖4，當時，重疊部分為正方形MNGH，

∴

③如圖5，當時，重疊部分為正方形MNGH，

∴

④如圖6，當時，重疊部分為五邊形GNMPK，

∵，

∴

∵

同理可得：S=S正方形MNGH-S△PHK，

綜上所述，S關于t的函數關系式為：