Question

【題目】如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝135°，將一個含45°角的直角三角板的一個頂點放在點O處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞著點O逆時針旋轉90°，如圖2所示，此時∠BOM＝ ；在圖2中，OM是否平分∠CON？請說明理由；

（2）接著將圖2中的三角板繞點O逆時針繼續旋轉到圖3的位置所示，使得ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠CON之間的數量關系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點O按每秒4.5°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，當旋轉到第 秒時，∠COM與∠CON互補．

Answer 1

【答案】（1）90°，OM平分∠CON；（2）∠AOM=∠CON，詳見解析；（3）15或60.

【解析】

（1）由旋轉得∠BOM=90°，求出∠COM=45°=∠MON即可得到OM平分∠CON.

（2）先求出∠AOC=45°,得到∠CON+∠AON=45°，再由∠MON=45°得到∠AOM+∠AON=45°，即可證得∠AOM=∠CON；

（3）分三種情況討論：①當OM在∠BOC內部時，②當OM在∠BOC外部，ON在∠BOC內部時，③當ON在∠BOC外部時，分別求出時間t的值.

(1)由題意得，∠BOM=90°，∠MON=45°，

OM平分∠CON,理由如下：

∵∠BOC=135°，

∴∠COM=∠BOC-∠BOM=45°，

∴∠COM=∠MON

∴OM平分∠CON；

（2）∠AOM=∠CON，理由如下：

∵∠AOC=180°-∠BOC=45°,

∴∠CON+∠AON=45°,

∵∠MON=45°,

∴∠AOM+∠AON=45°,

∴∠AOM=∠CON；

（3）設運動t秒（0），

①當OM在∠BOC內部時，∠COM=，

∴2+45=180，

得t=15；

②當OM在∠BOC外部，ON在∠BOC內部時，

∠COM+∠CON=45°,不合題意，舍去；

③當ON在∠BOC外部時，∠CON=,

∴2=180，

得t=60，

∴當旋轉到第15或60秒時，∠COM與∠CON互補