Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，點P由點B向點A運動，同時，點Q由點C出發沿線段AC的延長線運動，已知點P、Q運動速度相等，點Q與線段BC相交于點D，過點P作PE∥AQ，交BC于點E．

（1）如圖1，求證：D為CE中點；

（2）如圖2，過點P作PF⊥BC，垂足為點F，在P、Q的運動過程中，請判斷DF的長度是否為定值；若是，請求出DF的長度；若否，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF的長為定值，DF=4

【解析】

（1）先根據等腰三角形的性質和平行線的性質得出∠B=∠PEB，則有PB=PE，再根據P,Q速度相等通過等量代換得出PE=CQ，然后利用AAS證明△PDE≌△QDC，則有DE=DC，則 結論可證；

（2）由等腰三角形三線合一可得出BF=EF，則有DF=EF+DE=BC，因為BC是定值，所以DF也是定值．

（1）證明：∵點P、Q運動速度相等，點P、Q同時出發

∴BP=CQ

∵PE∥AQ

∴∠DPE=∠DQC，∠PEB=∠ACB

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠PEB

∴PB=PE

即：PE=CQ

在△PDE與△QDC中，

∴△PDE≌△QDC（AAS）

∴DE=DC

即：D為CE中點

（2）DF的長度是定值，

由（1）得：PB=PE，

∵PF⊥BC

∴BF=EF

由（1）得：DE=DC

∴EF=BE，DE=CE

∴DF=EF+DE=BE+CE=(BE+CE)=BC

∵BC=8

∴DF=4

故DF的長為定值，DF=4