Question

【題目】如圖,已知平面直角坐標系中,、,現將線段繞點順時針旋轉得到點,連接.

(1)求出直線的解析式；

(2)若動點從點出發,沿線段以每分鐘個單位的速度運動,過作交軸于,連接.設運動時間為分鐘,當四邊形為平行四邊形時,求的值.

(3)為直線上一點,在坐標平面內是否存在一點,使得以、、、為頂點的四邊形為菱形,若存在,求出此時的坐標；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=s時，四邊形ABMN是平行四邊形；（3）存在，點Q坐標為：或或或.

【解析】

（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．證明△COA≌△AHB（AAS），可得BH=OA=1，AH=OC=2，求出點B坐標，再利用待定系數法即可解決問題．
（2）利用平行四邊形的性質求出點N的坐標，再求出AN，BM，CM即可解決問題．
（3）如圖3中，當OB為菱形的邊時，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，當OB為菱形的對角線時，可得菱形OP2BQ2，點Q2在線段OB的垂直平分線上，分別求解即可解決問題．

（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．

∵A（1，0）、C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，
∴∠ACO=∠BAH，
∵AC=AB，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴BH=OA=1，AH=OC=2，
∴OH=3，
∴B（3，1），

設直線BC的解析式為y=kx+b，則有，

解得：，

∴；

（2）如圖2中，

∵四邊形ABMN是平行四邊形，
∴AN∥BM，
∴直線AN的解析式為：，

∴，

∴，

∵B（3，1），C（0，2），
∴BC=，

∴，

∴，

∴t=s時，四邊形ABMN是平行四邊形；

（3）如圖3中，

如圖3中，當OB為菱形的邊時，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，
連接OQ交BC于E，
∵OE⊥BC，
∴直線OE的解析式為y=3x，

由，解得：，

∴E（，），
∵OE=OQ，
∴Q（，），
∵OQ1∥BC，

∴直線OQ1的解析式為y=-x，
∵OQ1=OB=，設Q1（m，-），
∴m2+m2=10，
∴m=±3，
可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），
當OB為菱形的對角線時，可得菱形OP2BQ2，點Q2在線段OB的垂直平分線上，
易知線段OB的垂直平分線的解析式為y=-3x+5，

由，解得：，

∴Q2（，）．

綜上所述，滿足條件的點Q坐標為：或或或.