Question

【題目】已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，點A，B分別是射線OM，OE，上的動點（A，B不與點O重合），點D是線段OB上的動點，連接AD并延長交射線ON于點C，設∠OAC=x，

（1）如圖1，若AB∥ON，則

①∠ABO的度數是______；

②當∠BAD=∠ABD時，x=______；

當∠BAD=∠BDA時，x=______；

（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ABD中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①18°；②126°；③63°；（2）當x=18、36、54時，△ADB中有兩個相等的角．

【解析】

（1）運用平行線的性質以及角平分線的定義，可得∠ABO的度數；根據∠ABO、∠BAD的度數以及△AOB的內角和，可得x的值；

（2）根據三角形內角和定理以及直角的度數，可得x的值．

解：（1）如圖1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=18°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=18°；

②當∠BAD=∠ABD時，∠BAD=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°-18°×3=126°；

③當∠BAD=∠BDA時，∵∠ABO=18°，

∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°-18°-18°-81°=63°，

故答案為①18°；②126°；③63°；

（2）如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

若∠BAD=∠ABD=72°，則∠OAC=90°-72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°-72°）÷2=54°，則∠OAC=90°-54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，則∠BAD=36°，故∠OAC=90°-36°=54°；

綜上所述，當x=18、36、54時，△ADB中有兩個相等的角．