Question

【題目】定義：有一組對角是直角的四邊形叫做“準矩形”；有兩組鄰邊（不重復）相等的四邊形叫做“準菱形”．如圖①，在四邊形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，則四邊形ABCD是“準矩形”；如圖②，在四邊形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，則四邊形ABCD是“準菱形”．

（1）如圖，在邊長為1的正方形網格中，A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請分別在圖③、圖④中畫出“準矩形”ABCD和“準菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格點上）；

（2）下列說法正確的有 ；（填寫所有正確結論的序號）

①一組對邊平行的“準矩形”是矩形；②一組對邊相等的“準矩形”是矩形；

③一組對邊相等的“準菱形”是菱形；④一組對邊平行的“準菱形”是菱形．

（3）如圖⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向外作“準菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于點D．

①若∠ACE＝∠AFE，求證：“準菱形”ACEF是菱形；

②在①的條件下，連接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，請直接寫出四邊形ACEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①②③④；（3）①證明見解析；②

【解析】

（1）根據準矩形和準菱形的特點畫圖即可；

（2）根據矩形的判定定理和菱形的判定定理結合準矩形和準菱形的性質對每一個選項進行推斷即可；

（3）①先根據已知得出△ACF≌△ECF，再結合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，則證明了準菱形ACEF是平行四邊形，又因為AC＝EC即可得出準菱形ACEF是菱形；

②取AC的中點M，連接BM、DM，根據四邊形ACEF是菱形可得A、B、C、D四點共圓，點M是圓心，根據圓周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根據∠ACD＝30°即可求出AD，CD的長，則可求出菱形的面積．

（1）；

（2）①因為∠A＝∠C＝90°，結合一組對邊平行可以判斷四邊形為矩形，故①正確；

②因為∠A＝∠C＝90°，結合一組對邊相等可以判斷四邊形為矩形，故②正確；

③因為AB＝AD，BC＝DC，結合一組對邊相等可以判斷四邊形為菱形，故③正確；

④因為AB＝AD，BC＝DC，結合一組對邊平行可以判斷四邊形為菱形，故④正確；

故答案為：①②③④；

（3）①證明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，

∴△ACF≌△ECF（SSS）．

∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，

∵∠ACE＝∠AFE，

∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，

∴AC∥EF，AF∥CE，

∴準菱形ACEF是平行四邊形，

∵AC＝EC，

∴準菱形ACEF是菱形；

②如圖：取AC的中點M，連接BM、DM，

∵四邊形ACEF是菱形，

∴AE⊥CF，∠ADC=90°，

又∵∠ABC=90°，

∴A、B、C、D四點共圓，點M是圓心，

∵∠ACB=15°，

∴∠AMB=30°，

∵∠ACD=30°，

∴∠AMD=60°，

∴∠BMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴BM=DM=BD=×=1，

∴AC=2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

∴AD=AC×sin30°=1，CD=AC×cos30°=，

∴菱形ACEF的面積=×1××4=．