Question

【題目】如圖，CB=CA，∠ACB=90°，點D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論：

①AC=FG； ②S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；
③∠ABC=∠ABF； ④AD2=FQAC，
其中正確的結論的個數是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】①∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
∴∠FAG+∠CAD=90°，
又∵FG⊥CA，
∴∠FGA=90°，
∴∠FAG+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△AGF和△DCA中，
∵，
∴△AGF≌△DCA（AAS），
∴FG=CA.
故①正確.
②∵BC=AC，FG=CA，
∴BC=FG，
又∵FG⊥CA，∠ACB=90°，
∴FG∥BC，
∴四邊形BCGF是平行四邊形，
又∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形BCGF是矩形，
∴∠CBF=90°，
∴S△FAB=BFBC，
S四邊形CBFG=BFBC，
∴S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；
故②正確.
③∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
∴∠FBA=45°，
故③正確.
④∵∠ADE=∠CBF=90°，
∴∠ADC+∠BDQ=90°，
∠BQD+∠BDQ=90°，
∴∠ADC=∠BQD，
又∵∠FQE=∠BQD，
∴∠ADC=∠FQE，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：FE=AD：FQ，
又∵FE=AD，
∴AD2=FQAC，
故④正確.
所以答案是：D．

【考點精析】利用正方形的性質和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．