Question

【題目】如圖，小明將兩塊完全相同的直角三角形紙片的直角頂點C疊放在一起，若保持△BCD不動，將△ACE繞直角頂點C旋轉．

（1）如圖1，如果CD平分∠ACE，那么CE是否平分∠BCD?答：______（填寫“是”或“否”）；

（2）如圖1，若∠DCE=35，則∠ACB=______；若∠ACB=140，則∠DCE=______；

（3）當△ACE繞直角頂點C旋轉到如圖1的位置時，猜想∠ACB與∠DCE的數量關系，并說明理由；

（4）當△ACE繞直角頂點C旋轉到如圖2的位置時，上述關系是否依然成立，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）是；（2）145°，40°；（3）∠ACB＋∠DCE＝180°，理由見解析；（4）成立，理由見解析

【解析】

（1）CD平分∠ACE，那么可得∠DCE＝45°，進而求得∠BCF是45°，那么CE平分∠BCD；
（2）由∠DCE＝35°可先求出∠ACD＝55°，再結合∠ACB＝∠DCB＋∠ACD，∠BCD＝90°即可求解；由∠ACB＝140°，可先求出∠ACD從而求出∠DCE．
（3）根據∠ACE=∠DCB=90°，以及∠ACB=∠ACE+∠BCE，即可得出∠ACB＋∠DCE＝180°．

（4）根據周角定義，再結合已知條件，可以得出∠ACB＋∠DCE＝180°．

解：（1）∵CD平分∠ACE，∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝90°∠DCE＝45°
∴∠DCE＝∠ECB，
∴CE平分∠DCB，
故答案為：是．
（2）∵∠ACD＋∠DCE＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACD＝55°，
∴∠ACB＝∠DCB＋∠ACD＝90°＋55°＝145°；
當∠ACB＝140°，
∴∠ACD＝∠ACB∠DCB＝50°，
∴∠DCE＝∠ACE∠ACD＝40°．
故答案分別為：145°，40°．

（3）結論：∠ACB＋∠DCE＝180°，

理由：∵∠ACE=∠DCB=90°，∠ACB=∠ACE+∠BCE，

∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠DCE=∠ACE+∠DCB=90°+90°=180°，

（4）成立．
理由∵∠ACE＋∠DCB＝180°，
又∵∠ACB＋∠DCE＋∠ACE＋∠DCB＝360°，∠ACE=∠DCB=90°，
∴∠ACB＋∠DCE＝360°（∠ACE＋∠DCB）＝180°．