Question

【題目】根據所學知識完成小題：
（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由．

（2）【深入探究】如圖2，△ABC中，∠ABC=45°，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABNE和正方形ACMD，連接BD，求BD的長．

（3）如圖3，在（2）的條件下，以AC為直角邊在線段AC的左側作等腰直角△ACD，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CE，理由如下：
∵△ABE和△ACD均是等邊三角形，
∴AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=60°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
（2）解：連接BE，CE，如圖：
∵四邊形ABNE和四邊形ACMD均是正方形，
∴AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
又∵四邊形ABNE正方形，AB=5cm
∴∠ABE=45°，BE=5，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBE=∠ABE+∠ABC=90°，
又∵BC=3cm，
∴CE==，
∴BD=.

（3）解：作AE⊥AB，交BC延長線于點E，如圖：
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AB=AE，
又∵△ACD為等腰直角三角形
∴AD=AC，∠DAC=90°，
∴∠CAE+∠BAC=∠DAB+∠BAC，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD，
∴CE=BD，
在Rt△CAB中，
∵AB=AE=5cm，BC=3cm，
∴BE=5cm，
∴CE=BE-BC=5-3（cm），
∴BD=5-3（cm）.

【解析】（1）BD=CE，理由如下：
由等邊三角形的性質得出AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=60°，再由等量代換得出∠CAE=∠BAD，根據SAS得出△CAE≌△BAD，再由全等三角形的對應邊相等得出CE=BD.
（2）連接BE，CE，如圖：由正方形的性質得出AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，再由等量代換得出∠CAE=∠BAD，根據SAS得出△CAE≌△BAD，再由全等三角形的對應邊相等得出CE=BD；再由正方形性質得出，BE=5，結合已知條件得出∠CBE=90°，根據勾股定理得出CE=，即BD的長.
（3）作AE⊥AB，交BC延長線于點E，如圖：由垂直和等腰三角形的性質得出AB=AE，AD=AC，再由等量代換得出∠CAE=∠BAD，根據SAS得出△CAE≌△BAD，再由全等三角形的對應邊相等得出CE=BD；在Rt△CAB中，由勾股定理得出BE值，從而求出BD長.
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)的相關知識才是答題的關鍵．