Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=2，AC=BC= ．

（1）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系如圖，請你分別寫出A、B、C三點的坐標；
（2）求過A、B、C三點且以C為頂點的拋物線的解析式；
（3）若D為拋物線上的一動點，當D點坐標為何值時，S△ABD= S△ABC；
（4）如果將（2）中的拋物線向右平移，且與x軸交于點A′B′，與y軸交于點C′，當平移多少個單位時，點C′同時在以A′B′為直徑的圓上（解答過程如果有需要時，請參看閱讀材料）．
附：閱讀材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，對于一些特殊方程可以通過換元法轉化為一元二次方程求解．如解方程：y4﹣4y2+3=0．
解：令y2=x（x≥0），則原方程變為x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．
當x1=1時，即y2=1，∴y1=1，y2=﹣1．
當x2=3，即y2=3，∴y3= ，y4=﹣ ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=﹣1，y3= ，y4=﹣ ．
再如x2﹣2=4 ，可設y= ，用同樣的方法也可求解．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB的垂直平分線為y軸，

∴OA=OB= AB= ×2=1，

∴A的坐標是（﹣1，0），B的坐標是（1，0）．

在直角△OBC中，OC= =2，

則C的坐標是：（0，2）；

（2）

解：設拋物線的解析式是：y=ax2+b，

根據題意得： ，

解得： ，

則拋物線的解析式是：y=﹣2x2+2；

（3）

解：∵S△ABC= ABOC= ×2×2=2，

∴S△ABD= S△ABC=1．

設D的縱坐標是m，則 AB|m|=1，

則m=±1．

當m=1時，﹣2x2+2=1，解得：x=± ，

當m=﹣1時，﹣2x2+2=﹣1，解得：x=± ，

則D的坐標是：（ ，1）或（﹣ ，1）或（ ，﹣1），或（﹣ ，﹣1）．

（4）

解：設拋物線向右平移c個單位長度，則0＜c≤1，OA′=1﹣c，OB′=1+c．

平移以后的拋物線的解析式是：y=﹣2（x﹣c）2+2．

令x=0，解得y=﹣2c2+2．即OC′=﹣2c2+2．

當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有：OC′2=OA′OB′，

則（﹣2c2+2）2=（1﹣c）（1+c），

即（4c2﹣3）（c2﹣1）=0，

解得：c= ，﹣ （舍去），1，﹣1（舍去）．

故平移 或1個單位長度．

【解析】（1）根據y軸是AB的垂直平分線，則可以求得OA，OB的長度，在直角△OBC中，利用勾股定理求得OC的長度，則A、B、C的坐標即可求解；（2）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；（3）首先求得△ABC的面積，根據S△ABD= S△ABC ， 以及三角形的面積公式，即可求得D的縱坐標，把D的縱坐標代入二次函數的解析式，即可求得橫坐標．（4）設拋物線向右平移c個單位長度，則0＜c≤1，可以寫出平移以后的函數解析式，當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有：OC′2=OA′OB′，據此即可得到一個關于c的方程求得c的值．
【考點精析】利用二次函數的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數．