Question

【題目】如圖1，在中，，，，點D，E分別是邊，的中點，連接.將繞點C按逆時針方向旋轉，記旋轉角為α．

（1）問題發現

①當時，；②當時，；

（2）拓展探究

試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）問題解決

當旋轉至時，請直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）不變，證明見解析；（3）2或2

【解析】

（1）①當=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出BD、AE的比值；

②中，圖形如下，與①有所變化，但求解方法完全相同；

（2）證明△ECA∽△DCB，從而根據邊長成比例得出比值；

（3）存在2種情況，一種是當時，；另一種是當時，，分別利用勾股定理可求得．

（1）①∵在中，，，，點D，E分別是邊，的中點

∴CD=BD=2，在Rt△ABC中，AB=，AC=

∴AE=

∴；

②圖形如下：

同理可知：BC=4，AC=，DC=2，DE=，CE=

∴BD=DC+CB=2+4=6，AE=EC+AC==

∴；

（2）不變，理由如下

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴；

（3）情況一：當時，，圖形如下，過點D作BC的垂線，交BC延長線于點F

∵ED∥AC，∴∠ACD=∠EDC=90°

∵∠ACB=∠ECD=30°

∴∠ECF=30°，∴∠FCD=60°

∵CD=2

∴在Rt△DCF中，CF=1，FD=

∴FB=FC=CB=1+4=5

∴在Rt△FDB中，DB=2；

情況二：當時，，圖形如下，過點D作BC的垂線，交BC于點F

∵DE∥AC，∴∠ACD=90°

∵∠ACB=30°，∴∠DCF=60°

∵CD=2，∴在Rt△CDF中，CF=1，DF=

∴FB=CB－CF=4－1=3

∴在Rt△FDB中，DB=2

綜上得：DB的長為2或2．