Question

【題目】已知是的一條弦，點在上，聯結并延長，交弦于點，且．

（1）如圖1，如果平分，求證：；

（2）如圖2，如果，求的值；

（3）延長線段交弦于點，如果是等腰三角形，且的半徑長等于，求弦的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）和

【解析】

（1）由題意利用弦心距即可求證結果，

（2）此題關鍵先求出AO，做輔助線構造特殊三角形，并求證出∠AOD，再根據平行線分線段成比例求出比值即可，

（3）分情況討論兩種情況：OE=BE時或OB=BE時兩種情況，利用三角形相似即△COE△CBO找到相似比，利用相似比求解即可．

（1）過點O作OP⊥AB，垂足為點P；OQ⊥BC，垂足為點Q，

∵BO平分∠ABC，

∴OP=OQ，

∵OP，OQ分別是弦AB、BC 的弦心距，

∴AB= BC；

（2）∵OA=OB，

∴∠A=∠OBD，

∵CD=CB，

∴∠CDB =∠CBD，

∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，

∴∠AOD =∠CBO，

∵OC=OB，

∴∠C =∠CBO，

∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，

∵AO⊥OB，

∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，

∴∠AOD=30°，

過點D作DH⊥AO，垂足為點H，

∴∠AHD=∠DHO=90°，

∴tan∠AOD ==，

∵∠AHD=∠AOB=90°，

∴HD‖OB，

∴ ，

∵OA=OB，

∴HD=AH，

∵HD‖OB，

∴；

（3）∵∠C=∠CBO，

∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO，

∴OE≠OB；

若OB = EB =2時，

∵∠C=∠C，∠COE =∠AOD =∠CBO，

∴△COE△CBO，

∴，

∴，

∴-2BC -4=0，

∴BC = +1 (舍去)或BC =+1，

∴BC =+1；

若OE = EB時，

∵∠EOB =∠CBO，

∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，

∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，

∴∠OEB=90°，

∴cos∠CBO=，

∵OB=2，

∴EB = ，

∵OE過圓心，OE⊥BC，

∴BC =2EB =2．