Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，AB=12，∠OAB=30°，經(jīng)過A、B的直線l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線l上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）直接寫出A、B點(diǎn)坐標(biāo)是A點(diǎn) ，B點(diǎn) ；
（2）用含t的代數(shù)式求出表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過O作OC⊥l于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時(shí)，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并寫出此時(shí)⊙P與直線CD的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）(6，0)， (0，6)；；（2）（ t，6-t），（3）t=或時(shí)⊙P和OC相切，t=時(shí)⊙P和直線CD相離，當(dāng)t=時(shí)⊙P和直線CD相交．

【解析】

（1）根據(jù)Rt△OAB中，根據(jù)“30°所對的直角邊是斜邊的一半”求得OB=6；然后利用勾股定理求得OA=6，從而求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）結(jié)合題意，利用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解；

（3）此題應(yīng)分作兩種情況考慮：

①當(dāng)P位于OC左側(cè)，⊙P與OC第一次相切時(shí)，易證得∠COB=∠BAO=30°，設(shè)直線l與OC的交點(diǎn)為M，根據(jù)∠BOC的度數(shù)，即可求得B′M、PM的表達(dá)式，而此時(shí)⊙P與OC相切，可得PM=1，由此可列出關(guān)于t的方程，求得t的值，進(jìn)而可判斷出⊙P與CD的位置關(guān)系；

②當(dāng)P位于OC右側(cè)，⊙P與OC第二次相切時(shí)，方法與①相同．

（1）在Rt△OAB中，AB=12，∠OAB=30°，

∴OB=6，

OA=6，

∴A(6，0)，B(0，6)；

（2）作PF⊥y軸于F．

∵∠BAO=30°．

∴在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，

則B′F=，PF=t．

又BB′=t，

∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-=6-，

則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，6-）．

（3）此題應(yīng)分為兩種情況：

①當(dāng)⊙P和OC第一次相切時(shí)，

設(shè)直線B′P與OC的交點(diǎn)是M．

根據(jù)題意，知∠BOC=∠BAO=30°．

則B′M=OB′=3-，

∵PB′=t

∴PM=B′M-PB′=3-．

根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得

3-=1，t=．

此時(shí)⊙P與直線CD顯然相離；

②當(dāng)⊙P和OC第二次相切時(shí)，

則有-3=1，t=．

此時(shí)⊙P與直線CD顯然相交．

答：當(dāng)t=或時(shí)⊙P和OC相切，t=時(shí)⊙P和直線CD相離，當(dāng)t=時(shí)⊙P和直線CD相交．