Question

已知二次函數y=x2-(m2-4m+

5

2

)x-2(m2-4m+

9

2

)的圖象與X軸的交點為A、B（點B在點A的右邊），與y軸的交點為C．
（1）若△ABC為Rt△，求m的值；
（2）在△ABC中；若AC=BC，求∠ACB的正弦值；
（3）設△ABC的面積為S，求當m為何值時，S有最小值，并求這個最小值．

Answer 1

分析：（1）令拋物線的解析式中y=0，可求出A、B點的坐標；若△ABC為直角三角形，則∠ACB必為直角，根據射影定理，即可求出m的值；
（2）若AC=BC，則O是AB的中點，由此可確定A、B、C的坐標，進而可根據△ABC面積的不同表示方法求出∠ACB的正弦值；
（3）根據A、B、C三點的坐標，可求出關于S、m的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出S的最小值．

解答：解：設k=m²-4m+

5

2

，
則k+2=m²-4m+

9

2

，k=（m-2）²-

3

2

≥-

3

2

，
∴y=x²-kx-2（k+2）=（x+2）（x-k-2），
∴拋物線與x軸的兩個交點為（-2，0），（k+2，0），
∵k≥-

3

2

，k+2≥

1

2

＞-2，
∴A（-2，0），B（k+2，0），C（0，-2k-4），
∴OA=2，OB=k+2，OC=2k+4，

（1）由于A、B位于原點兩側，若△ABC為Rt△，且OC⊥AB，則有：
OC²=OA•OB，
即：（2k+4）²=2（k+2），
解得k=-

3

2

，
∴m²-4m+

5

2

=-

3

2

，
即m²-4m+4=0，
解得m=2；

（2）若AC=BC，則△ABC是等腰三角形，由于OC⊥AB，則OA=OB，
拋物線的對稱軸與y軸重合，此時k=0，B（2，0），C（0，-4），
∴AC²=BC²=20；
∵S_△ABC=

1

2

AC•sinACB•BC=

1

2

AB•OC，
∴sin∠ACB=

AB•OC

AC•BC

=

16

20

=

4

5

；

（3）∵S=

1

2

AB•OC=

1

2

（k+4）（2k+4）=（k+4）（k+2）=k²+6k+8=（k+3）²-1，
∴當k＞-3時，S隨k的增大而增大，
由于k≥-

3

2

，∴當k=-

3

2

時，S取最小值，
∴m²-4m+

5

2

=-

3

2

，即m=2時，S取最小值，且最小值為S=（3-

3

2

）²-1=

5

4

．

點評：此題是典型的二次函數綜合題；需要注意的幾點是：
①由于m的表達式較大，且含有二次項，若不用k來設m的表達式，本題的計算量將會很大；
②在（2）題中，若不能聯想到三角形面積的另一種計算方法：S=

1

2

ab•sinC，解題過程將會很復雜；
③在（3）題中，一定要注意k的取值范圍，以免造成錯解．