Question

已知二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x₁、x₂，一元二次方程x²+b²x+20=0的兩實根為x₃、x₄，且x₂-x₃=x₁-x₄=3，求二次函數的解析式，并寫出頂點坐標．

Answer 1

解：∵x₂-x₃=x₁-x₄=3
∴x₂-x₃=3，x₁-x₄=3
∴x₂-x₃+x₁-x₄=6即（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=6
∴（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=-b+b²=6，即b²-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x₂-x₃=x₁-x₄
∴|x₁-x₂|=|x₃-x₄|
即=
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x²+b²x+20=0有兩實根
∴△=b⁴-80≥0，
當b=-2，c=2時，有y=x²-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
與x軸無交點，
∴b=-2不合題意舍去
則解析式為y=x²+3x+2，
根據頂點坐標公式可得頂點坐標：．
分析：先將x₂-x₃=x₁-x₄=3化簡為兩根之和的形式，再代入數值進行計算．
點評：要求熟悉二次函數與一元二次方程的關系和坐標軸上兩點距離公式|x₁-x₂|，并熟練運用．