Question

【題目】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到，使得，再連接（或將繞點逆時針旋轉得到），把、、集中在中，利用三角形的三邊關系可得，則．

[感悟]解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．

解決問題：受到的啟發，請你證明下列命題：如圖，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接．求證：，若，探索線段、、之間的等量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】證明見解析；，理由見解析.

【解析】

（1）可按閱讀理解中的方法構造全等，把CF和BE轉移到一個三角形中求解．
（2）由（1）中的全等得到∠C=∠CBG．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三邊之間存在勾股定理關系；

延長到，使得，連接、．

（或把繞點逆時針旋轉得到），

∴，，

∵，

∴．

在中，，即．

若，則，

由知，，

∴，即，

∴在中，，

∴．