Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點G在直徑DF的延長線上，∠D=∠G=30°．

（1）求證：CG是⊙O的切線 （2）若CD=6，求GF的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）連接OC，根據三角形內角和定理可得∠DCG=180°-∠D-∠G=120°，再計算出∠GCO的度數可得OC⊥CG，進而得到CG是⊙O的切線；
（2）設EO=x，則CO=2x，再利用勾股定理計算出EO的長，進而得到CO的長，然后再計算出FG的長即可．

試題解析：（1）證明：連接OC．

∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D=30°．
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°-∠D-∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半徑．
∴CG是⊙O的切線．
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，
∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．
設EO=x，則CO=2x．
∴（2x）2=x2+32．
解得x=±（舍負值）．
∴CO=2．
∴FO=2．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴GO=2CO=4．
∴GF=GO-FO=2．