Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為1，AC是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線BC，E是BC的中點，AB交⊙O于D點．

(1)直接寫出ED和EC的數量關系：_________；

(2)DE是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；

(3)填空：當BC=_______時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點O、D、E、C為頂點的四邊形是_______．

Answer 1

【答案】ED=EC 2 正方形

【解析】

(1)連結CD，如圖，由圓周角定理得到∠ADC=90°，然后根據直角三角形斜邊上的中線直線得到DE=CE=BE；

(2)連結OD，如圖，利用切線性質得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性質得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根據切線的判定定理可判斷DE是⊙O 的切線；(3)要判斷四邊形AOED是平行四邊形，則DE=OA=1，所以BC=2，當BC=2時，△ACB為等腰直角三角形，則∠B=45°，又可判斷△BCD為等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=BC=1，所以四邊形AOED是平行四邊形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，可判斷四邊形OCED為正方形．

（1）連結CD，如圖，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵E是BC的中點，

∴DE=CE=BE；

（2）DE是⊙O的切線．理由如下：

連結OD，如圖，

∵BC為切線，

∴OC⊥BC，

∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，

∵OC=OD，ED=EC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（3）當BC=2時，

∵CA=CB=2，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴△BCD為等腰直角三角形，

∴DE⊥BC，DE=BC=1，

∵OA=DE=1，AO∥DE，

∴四邊形AOED是平行四邊形；

∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，

∴四邊形OCED為正方形．

故答案為ED=EC；2，正方形．