Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等邊三角形△ACD，E為AC的中點，連接DE并延長交BC于點F，連接BD．

（1）如圖1，若∠BAC=100°，則∠ABD的度數為_____，∠BDF的度數為______；

（2）如圖2，∠ACB的平分線交AB于點M，交EF于點N，連接BN，若BN=DN，∠ACB=．

(I)用表示∠BAD；

(II)①求證：∠ABN=30°；

②直接寫出的度數以及△BMN的形狀．

Answer 1

【答案】(1)10°，20°；（2）（Ⅰ）；(II)①證明見解析；②=40°，△BMN等腰三角形．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得AD=AC，∠CAD=60°，利用等量代換可得AD=AB，根據等腰三角形的性質即可求出∠ABD的度數，由等腰三角形“三線合一”的性質可得∠ADE=30°，進而可求出∠BDF的度數；

（2）（Ⅰ）根據等腰三角形的性質可用表示出∠BAC，由∠CAD=60°即可表示出∠BAD；

（Ⅱ）①如圖，連接AN，由角平分線的定義可得∠CAN=，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得DN是AC的垂直平分線，可得AN=CN，∠CAN=∠CAN，即可求出∠DAN=+60°，由（Ⅰ）可知∠BAD=240°-2，由△ABN≌△AND可得∠BAN=∠DAN，可得∠BAN=120°+，列方程即可求出的值，利用外角性質可求出∠ANM的度數，根據三角形內角和可求出∠AMN的度數，利用外角性質可求出∠MNB的度數，可得∠BMN=∠ABN，可證明△BMN是等腰三角形．

（1）∵△ACD是等邊三角形，

∴AD=AC=CD，∠CAD=∠ADC=60°，

∵AB=AC，

∴AD=AB，

∵∠BAC=100°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，

∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=10°，

∵點E為AC中點，

∴ ∠ADE=∠CDE=30°，

∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=20°，

故答案為：10°，20°

（2）（Ⅰ）∵AB=AC，∠ACB=，

∴∠ABC=∠ACB=，

∴，

∵△ACD為等邊三角形，

∴∠CAD=60°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=240°+．

(II)①如圖，連接，

∵△ACD為等邊三角形，

∴，

在△ABN和△AND中，，

∴△ABN≌△AND，

∴∠ABN=∠ADN，

∵點E的中點，

∴DF⊥AC，ED平分∠ADC，

∴∠ADE=30°，

∴∠ABN=∠ADE=30°．

②∵CM平分∠ACB，∠ACB=，

∴∠CAM=∠BCM=，

∵點E是AC的中點，△ACD是等邊三角形，

∴DN是AC的垂直平分線，

∴AN=CN，

∴∠CAN=∠ACM=，

∴∠DAN=∠CAD+∠CAN=60°+，

∵△ABN≌△AND，

∴∠BAN=∠DAN=60°+，

∴∠BAN=2∠BAN=120°+，

由（Ⅰ）得：∠BAD=240°-2，

∴120°+=240°-2，

解得：=40°，

∴∠BAN=60°+=80°，∠ANM=∠NAC+∠NCA==40°，

∴∠AMC=180°-∠BAN-∠ANM=60°，

∵∠ABN=30°，

∴∠MNB=∠AMC-∠ABN=30°，

∴∠ABN=∠MNB，

∴MB=MN，

∴是等腰三角形．