Question

【題目】如圖①，正方形ABCD的邊長為4，動點E從點A出發，以每秒2個單位的速度沿A﹣D﹣A連續做往返運動；動點G從點A出發，以每秒1個單位的速度沿AB方向運動．E、G兩點同時出發，當點G到達點B時停止運動，點E也隨之停止．過點G作FG⊥AB交AC于點F，以FG為一直角邊向右作等腰直角三角形FGH，使∠FGH＝90°．設點G的運動時間為t（秒），△FGH與正方形ABCD重疊部分圖形的周長為l．

（1）當t＝1時，l＝　 　．

（2）當t＝3時，求l的值．

（3）設DE＝y，在圖②的坐標系中，畫出y與t的函數圖象．

（4）當四邊形DEGF是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）2+；（2）6+；（3）見解析；（4）t＝或t＝4

【解析】

（1）根據正方形和等腰三角形的性質得出AG=FG=GH=t，t=1時，重疊部分周長=FG+GH+FH，據此可得；
（2）由（1）知AG=FG=GH=3，根據AB=4得GB=1、BH=BP=2，由重疊部分的周長=FG+GB+PB+PF可得答案；
（3）分點E從A到D和點E從點D返回點A兩種情況，分別求解得出解析式，繼而畫出函數圖象即可；
（4）由FG∥DE知，若四邊形DEGF是平行四邊形，則DE=FG，據此根據DE的解析式分別求解可得．

（1）∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，
∴AB=AD=4、∠CAB=45°，
∵△FGH是等腰直角三角形，
∴∠FGH=90°、FG=GH、∠GFH=∠GHF=45°，
則AG=FG=GH=t，
當t=1時，如圖1，

重疊部分面積周長=FG+GH+FH=1+1+=2+．
故答案為：2+．
（2）當t=3時，如圖2，

由（1）知AG=FG=GH=3，
∵AB=4，
∴GB=AB-AG=1、BH=GH-GB=2，PF=，
∵∠PBH=90°、∠H=45°，
∴BH=BP=2，
則重疊部分周長=FG+PB+GB+PF=3+1+2+=6+．
（3）由題意知點E的運動路程為2t，
如圖1，點E從A到D時，即0≤t≤2，DE=AD-AE=4-2t，即y=4-2t；
如圖2，點E從點D返回點A時，即2＜t≤4，DE=2t-4，即y=2t-4；
y與t的函數圖象如圖3所示：

（4）∵∠DAB=∠FGH=90°，
∴FG∥AD，即FG∥DE，
若四邊形DEGF是平行四邊形，則DE=FG，
當0≤t≤2時，4-2t=t，
解得：t=；
當2＜t≤4時，2t-4=t，
解得：t=4；
綜上所述，當四邊形DEGF是平行四邊形時，t=或t=4．