Question

【題目】矩形ABCD中，AB＝6，以AB為直徑在矩形內作半圓，與DE相切于點E（如圖），延長DE交BC于F，若BF＝，則陰影部分的面積為_____．

Answer 1

【答案】9﹣3π

【解析】

連接OF、OE、OD，如圖，在Rt△OBF中利用三角函數的定義求出∠OFB=60°，再利用切線的性質和切線長定理得到∠OFE=∠OFB=60°，OE⊥DF，所以∠BFE=120°，則∠ADE=60°，同樣可得∠ADO=∠EDO=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關系求出AD=OA=3，所以S△ADO=；接著計算出∠AOE=120°，于是得到S扇形AO=3π，然后利用陰影部分的面積=四邊形AOED的面積-扇形AOE的面積進行計算即可．

解：連接OF、OE、OD，如圖，

在Rt△OBF中，∵tan∠OFB＝＝＝，

∴∠OFB＝60°，

∵BF⊥AB，

∴BF為切線，

∵DF為切線，

∴∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，

∴∠BFE＝120°，

∵BC∥AD，

∴∠ADE＝60°，

∵AD⊥AB，

∴AD為切線，

而DE為切線，

∴∠ADO＝∠EDO＝30°，

在Rt△AOD中，AD＝OA＝3，

∴S△ADO＝×3×3＝；

∵∠AOE＝180°﹣∠ADE＝120°，

∴S扇形AOE＝＝3π，

∴陰影部分的面積＝四邊形AOED的面積﹣扇形AOE的面積＝2×﹣3π＝9﹣3π．

故答案為9﹣3π．