Question

【題目】在學習絕對值后，我們知道，表示數在數軸上的對應點與原點的距離. 如：表示5在數軸上的對應點到原點的距離．而，即表示5、0在數軸上對應的兩點之間的距離.類似的，有：表示5、3在數軸上對應的兩點之間的距離；，所以表示5、在數軸上對應的兩點之間的距離. 一般地，點A、B在數軸上分別表示有理數、，那么A、B之間的距離可表示為．

請根據絕對值的意義并結合數軸解答下列問題：

（1）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是______；數軸上表示1和－3的兩點之間的距離是 ；

（2）數軸上P、Q兩點的距離為3，且點P表示的數是2，則點Q表示的數是___________.

（3）點A、B、C在數軸上分別表示有理數、、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為 ；

（4）滿足的整數的值為 .

（5）的最小值為 .

Answer 1

【答案】（1）3；4；（2）5或-1；（3）|x+3|+|x-1|；（4）符合題意的整數的值為-2、-1、0、1、2、3；（5）2500.

【解析】

（1）根據兩點之間的距離公式直接計算即可；（2）設點Q表示的點為x，根據兩點間的距離公式得到關于x的方程，解方程即可；（3）根據數軸上兩點之間的距離公式可求A到B的距離與A到C的距離之和；（4）利用分類討論的方法可以解答本題；（5）當絕對值的個數為奇數時，取得最小值x是其中間項，而當絕對值的個數為偶數時，則x取中間兩項結果一樣．從而得出對于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|，當50≤x≤51時取得最小值．

解：（1）根據題意，得：|5-2|=3；|1-（-3）|=4，

（2）設點Q表示的點為x，根據題意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案為：5或-1；

（3）A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+3|+|x-1|；

（4）∵|x-3|+|x+2|=5，
∴當x＞3時，化簡得:x-3+x+2=5，得x=3；
當-2≤x≤3時，化簡得:3-x+x+2=5，所以整數的值為-2、-1、0、1、2、3；
當x＜-2時，3-x-x-2=5，得x=-2；

所以符合題意的整數的值為-2、-1、0、1、2、3．

（5）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=（|x-1|+|x-100|）+（|x-2|+|x-99|）+…+（|x-50|+|x-51|），其中：|x-1|+|x-100|表示數軸上數x的對應點到表示1、100兩點的距離之和，所以當1≤x≤100時，|x-1|+|x-100|值最小，當1≤x≤100時，|x-1|+|x-100|=x-1+100-x=99,故有最小值為|100-1|=99；

同理：|x-2|+|x-99|表示數軸上數x的對應點到表示2、99兩點的距離之和，
當2≤x≤99時，|x-2|+|x-99|=x-2+99-x=97,故有最小值為|99-2|=97；…
|x-50|+|x-51|表示數軸上數x的對應點到表示50、51兩點的距離之和，
當50≤x≤51時，|x-50|+|x-51|有最小值為|51-50|=1．

綜上所述，當50≤x≤51時，每個括號里 兩個絕對值式子的和的值最小，所以，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|有最小值為：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500．