Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，有一條直線l：與x軸、y軸分別交于點M、N，一個高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移．

（1）在平移過程中，得到△A1B1C1，此時頂點A1恰落在直線l上，寫出A1點的坐標　 　；

（2）繼續向右平移，得到△A2B2C2，此時它的外心P恰好落在直線l上，求P點的坐標；

（3）在直線l上是否存在這樣的點，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）（，3）。

（2）P（3，1）。

（3）存在四個點，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。

【解析】

試題（1）∵等邊三角形ABC的高為3，∴A1點的縱坐標為3。

∵頂點A1恰落在直線l上，∴，解得；x=。

∴A1點的坐標是（，3）。

（2）設P（x，y），連接A2P并延長交x軸于點H，連接B2P，先求出A2B2=2，HB2=，根據點P是等邊三角形A2B2C2的外心，得出PH=1，將y=1代入，即可得出點P的坐標。

設P（x，y），連接A2P并延長交x軸于點H，連接B2P，

在等邊三角△A2B2C2中，高A2H=3，

∴A2B2=2，HB2=。

∵點P是等邊三角形A2B2C2的外心，

∴∠PB2H=30°。

∴PH=1，即y=1。

將y=1代入，解得：x=3。

∴P（3，1）。

（3）分四種情況分別討論。

∵點P是等邊三角形A2B2C2的外心，

∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，

∴點P滿足的條件，由（2）得P（3，1）。

由（2）得，C2（4，0），點C2滿足直線的關系式，∴點C2與點M重合。

∴∠PMB2=30°。

設點Q滿足的條件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能構成等腰三角形，

此時QA2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2。

作QD⊥x軸與點D，連接QB2，

∵QB2=2，∠QB2D=2∠PMB2=60°，∴QD=3，∴Q（，3）。

設點S滿足的條件，△SA2B2，△C2B2S，△C2PA2是等腰三角形，

此時SA2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S。

作SF⊥x軸于點F，

∵SC2=2，∠SB2C2=∠PMB2=30°，∴SF=。∴S（4﹣3，）。

設點R滿足的條件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能構成等腰三角形，

此時RA2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R。

作RE⊥x軸于點E，

∵RC2=2，∠RC2E=∠PMB2=30°，∴ER=。∴R（4+3，﹣）。

綜上所述，存在四個點，與（2）中的A2、B2、C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。